info-faberlic.ru

Остаточный член в теореме лагранжа

Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано. Выше мы установили формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме. Здесь мы установим другие возможные представления для остаточного члена.

Два из них могут быть получены в качестве частных случаев из общей формы. Прежде всего несколько преобразуем формулу остаточный член в теореме лагранжа остаточного члена 6. Поскольку точка лежит между точками а и х, найдется такое число 0 из интервала что Таким образом, формула 6. Первый из этих частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Лагранжа: Эта форма остаточного члена наиболее употребительна в приложениях. Остаточный член в форме Лагранжа напоминает следующий, очередной член формулы Тейлора, лишь только производная функции вычисляется не в точке а, а в некоторой промежуточной между а и х точке Второй из указанных выше частных случаев приводит нас к остаточному члену в форме Коши: Так как формы Лагранжа и Коши отвечают разным значениям зависит отто значения 0 в формулах 6.

Для оценки некоторых функций форма Коши является более предпочтительной, чем форма Лагранжа. Обе формы остаточного члена Лагранжа и Коши обычно используются в остаточный член в теореме лагранжа случаях, когда требуется при тех или иных фиксированных значениях х, отличных от а, приближенно вычислить функцию Естественно приближенно заменить многочленом и численно оценить сделанную при этом ошибку.

Наряду с этим встречаются задачи, в которых нас интересует не численная величина указанной ошибки, а лишь порядок ее относительно малой величины Для этой цели удобна другая форма записи остаточный член в теореме лагранжа члена так называемая форма Пеано, к установлению которой мы и переходим. Предположим, что функция в некоторой окрестности точки а и производную порядка в самой точке а При этих предположениях мы можем рассмотреть многочленопределяемый соотношением 6. Разность между и этим многочленом, как и при доказательстве теоремы 6.

Используя установленное в конце предыдущего параграфа свойство многочленавыражающееся соотношениями 6. Нам остается доказать, что из равенств 6.

Доказательство того, что из равенств 6. Сначала убедимся в том, что равенства 6. Теперь для завершения индукции предположим, что представление 6.